Exerciții și probleme propuse

Această pagină prezintă o serie de exerciții și probleme de probabilități care ilustrează noțiunile prezentate la curs și care vin în sprijinul studenților pentru pregătirea examenului.

Câmp de probabilitate, operații cu evenimente

Exercițiul 1 Într-o urnă se află bile albe și negre într-o proporție oarecare. Se efectuează la întâmplare \(5\) extrageri cu întoarcere și considerăm \(A_i\) evenimentul, din câmpul de evenimente atașat experimentului, ce constă în obținerea unei bile albe la extragerea \(i\), \(1 \leq i \leq 5\). Să se exprime următoarele evenimente:

  1. \(A\) - numai o bilă este albă;

  2. \(B\) - cel puțin o bilă este negră;

  3. \(C\) - obținerea a cel mult două bile albe;

  4. \(D\) - obținerea a cel puțin trei bile albe;

  5. \(E\) - numai două bile sunt negre.

Exercițiul 2 Să presupunem că într-o școală situația apartenenței la o rețea socială este următoarea: \(60\%\) dintre elevi nu au nici cont de Facebook nici cont de Twitter, \(20\%\) au cont de Twitter și \(30\%\) au cont de Facebook. Care este probabilitatea ca elevii să aibă cont de Facebook sau de Twitter ? Dar cont de Facebook și de Twitter ? Dar doar cont de Facebook/Twitter?

Exercițiul 3 Numerele \(1,2,\ldots, 100\) se așează la întâmplare

  1. Care este probabilitatea ca numerele \(1\) și \(2\) să fie așezate în ordine crescătoare și consecutive ?

  2. Care este probabilitatea ca numerele \(k\), \(k+1\) și \(k+2\) (\(1\leq k \leq n-2\)) să fie așezate în ordine crescătoare și consecutive ?

Exercițiul 4 Într-un sertar se află șosete roșii și negre. Atunci când două șosete sunt scoase la întâmplare, probabilitatea ca ambele să fie de culoare roșie este \(\frac{1}{2}\).

  1. Care este numărul minim de șosete din sertar astfel ca proprietatea din ipoteză să fie îndeplinită?

  2. Care este numărul minim de șosete din sertar dacă numărul de șosete negre este par?

Exercițiul 5 Zece cartonașe pe care sunt scrise cifrele \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) și \(9\) sunt puse într-un bol. Cinci cartonașe sunt extrase la întâmplare și sunt așezate în rând în ordinea extragerii. Care este probabilitatea ca numărul de cinci cifre extras să fie divizibil cu 495?

Exercițiul 6 (Suma 5 înaintea sumei 7) Efectuăm aruncări succesive a două zaruri echilibrate și suntem interesați în găsirea probabilității evenimentului ca suma \(5\) (a fețelor celor două zaruri) să apară înaintea sumei \(7\). Pentru aceasta presupunem că aruncările sunt independente.

  1. Calculați pentru început probabilitatea evenimentului \(E_n\): în primele \(n-1\) aruncări nu a apărut nici suma \(5\) și nici suma \(7\) iar în a \(n\)-a aruncare a apărut suma \(5\). Concluzionați.

  2. Aceeași întrebare, dar înlocuind \(5\) cu \(2\).

Exercițiul 7 Într-un oraș sunt 10000 de biciclete astfel încât fiecare dintre acestea are un număr de înregistrare de la 1 la 10000 (nu sunt două biciclete cu același număr). Care este probabilitatea ca numărul de înmatriculare al bicicletei pe care am ales-o la întâmplare să nu conțină cifra 8?

Exercițiul 8 Nouă pasageri urcă la bordul unui tren care are trei vagoane. Fiecare pasager alege la întâmplare vagonul în care vrea să stea. Care este probabilitatea ca:

  1. vor fi trei persoane în primul vagon ?
  2. vor fi câte trei persoane în fiecare vagon ?
  3. vor fi două persoane în într-un vagon, trei în altul și patru în vagonul rămas ?

Exercițiul 9 Presupunem că jucătorul A are două zaruri cu șase fețe, iar jucătorul B are un zar cu doisprezece fețe. Jucătorul cu cel mai mare punctaj câștigă (avem remiză în caz de egalitate). Este jocul echilibrat (probabilitatea ca A să câștige este egală cu cea ca A să piardă)? Se va calcula atât probabilitatea ca A să câștige cât și probabilitatea unei remize.

Probabilități condiționate

Exercițiul 10 (Fiabilitatea testului) Se dorește verificarea fiabilității unui test de pentru depistarea nivelului de alcool al automobiliștilor. În urma studiilor statistice pe un număr mare de automobiliști, s-a observat că în general \(0.5\%\) dintre aceștia depășesc nivelul de alcool autorizat. Niciun test nu este fiabil \(100\%\). Probabilitatea ca testul considerat să fie pozitiv atunci când doza de alcool autorizată este depășită precum și probabilitatea ca testul să fie negativ atunci când doza autorizată nu este depășită sunt egale cu \(p=0.99\).

  1. Care este probabilitatea ca un automobilist care a fost testat pozitiv să fi depășit în realitate nivelul de alcool autorizat ?

  2. Cât devine valoarea parametrului \(p\) pentru ca această probabilitate să fie de \(95\%\) ?

  3. Un polițist afirmă că testul este mai fiabil sâmbăta seara (atunci când tinerii ies din cluburi). Știind că proporția de automobiliști care au băut prea mult în acest context este de \(30\%\), determinați dacă polițistul are dreptate.

Exercițiul 11 O urnă conține \(r\) bile roșii și \(b\) bile albastre. O bilă este extrasă la întâmplare din urnă, i se notează culoarea și este întoarsă în urnă împreună cu alte \(d\) bile de aceeași culoare. Repetăm acest proces la nesfârșit. Calculați:

  1. Probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie albastră.

  2. Probabilitatea ca prima bilă să fie albastră știind că a doua bilă este albastră.

  3. Fie \(B_n\) evenimentul ca a \(n\)-a bilă extrasă să fie albastră. Arătați că \(\mathbb{P}(B_n)=\mathbb{P}(B_1)\), \(\forall\, n\geq1\).

  4. Probabilitatea ca prima bilă este albastră știind că următoarele \(n\) bile extrase sunt albastre. Găsiți valoarea limită a acestei probabilități.

Exercițiul 12 Un profesor decide să termine repede examenul oral de Probabilități și propune pentru aceasta următorul joc: studentul care dă examenul dispune de \(4\) bile, două albe și două negre, pe care acesta trebuie să le distribuie în două urne așa încât fiecare urnă să conțină cel puțin o bilă. Profesorul alege arbitrar una din cele două urne și extrage o bilă la întâmplare. Studentul trece examenul dacă și numai dacă bila extrasă este neagră. Cum ar trebui să distribuie studentul bilele în urne așa încât acesta să își maximizeze șansele de succes ?

Exercițiul 13 Într-o urnă sunt \(24\) bile albe și \(9\) bile negre. Se extrag pe rând \(3\) bile fără a pune bila extrasă înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca bilele să fie extrase în ordinea alb, alb, negru ? dar alb, negru, alb ? dar probabilitatea ca \(2\) din cele \(3\) bile extrase să fie albe ?

Exercițiul 14 (Problema lui Martin Gardner) În lucrarea Mathematical games din revista Scientific American numărul 200 (pag. 164-174), Martin Gardner a formulat următoarea problemă:

  1. O familie are doi copii. Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți știind că cel puțin unul dintre copii este băiat ? Care este probabilitatea ca ambii copii să fie băieți știind că cel mai tânăr este băiat ?

  2. O familie are doi copii. Să se determine probabilitatea ca ambii copii să fie de sex feminin știind că cel puțin unul dintre ei este fata născută iarna. Vom presupune că avem șanse egale ca un copil să se fi născut în oricare din cele patru anotimpuri și că între sexul copilului și anotimp nu există nicio legătură.

Exercițiul 15 (Ruina jucătorului) Un bărbat vrea să își cumpere un obiect (de exemplu o mașină sau o casă) care costă \(N\) unități monetare. Să presupunem că el are economisit un capital de \(0 < k < N\) unități monetare și încearcă să câștige restul jucând un joc de noroc cu managerul unei bănci. Jocul este următorul: bărbatul aruncă o monedă echilibrată în mod repetat iar dacă moneda pică cap (\(H\)) atunci managerul îi dă o unitate monetară, în caz contrar bărbatul plătește o unitate monetară băncii. Jocul continuă până când unul din două evenimente se realizează: sau bărbatul câștigă suma necesară și își cumpără obiectul dorit sau pierde banii și ajunge la faliment. Ne întrebăm care este probabilitatea să ajungă la faliment?

Exercițiul 16 (Instanța de judecată) O instanță de judecată formată din trei judecători găsește că o persoană este vinovată atunci când cel puțin doi dintre cei trei judecători consideră că această decizie este fondată. Admitem faptul că în cazul în care acuzatul este în adevăr vinovat, fiecare judecător se va pronunța în acest sens cu probabilitatea 0.72, independent de ceilalți doi. Această probabilitate scade la 0.19 în cazul în care acuzatul este nevinovat. Știm că \(71\%\) dintre acuzați sunt vinovați. Determinați care este probabilitatea ca cel de-al treilea judecător să voteze vinovat în fiecare din situațiile următoare:

  1. primii doi judecători au făcut acest lucru,
  2. cel puțin unul dintre primii doi judecători au votat vinovat,
  3. primii doi judecători nu au votat vinovat.

Exercițiul 17 (Jocul lui Ionel și Vasile) Ionel și Vasile au obiceiul să se întâlnească în fiecare vineri seara la un pahar pentru a povesti ce s-a întâmplat în săptămâna curentă. În general, ei decid să achite factura în mod aleator, prin aruncarea unei monede. Ionel se plânge că a achitat ultimele 4 note de plată iar Vasile pentru a-i face pe plac prietenului său îi propune să schimbe regula: “Ionel tu vei arunca cu moneda de cinci ori și vei achita nota doar dacă vom observa în cele 5 aruncări o secvență de cel puțin 3 capete consecutive sau 3 cozi consecutive”. Ionel este bucuros că are un prieten atât de bun. Are sau nu dreptate să fie bucuros?

Variabile aleatoare discrete

Exercițiul 18 (Calcule elementare) Fie \(X\) o variabilă aleatoare a cărei repartiție este:

\[ X\sim\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 0.3 & 0.2 & 0.5 \end{array}\right) \]

Să se scrie repartițiile variabilelor \(3X+7\), \(X^2\), \(X^3\), \(X+X^2\) și să se calculeze probabilitățile \(\mathbb{P}\left(X>-\frac{1}{3}\right)\) și \(\mathbb{P}\left(X<\frac{1}{4}|X\geq -\frac{1}{2}\right)\).

Exercițiul 19 (Repartiția Poisson) Fie \(X\) o variabilă aleatoare cu valori în \(\mathbb{N}\), așa încât \(p_n=\mathbb{P}(X=n)>0\) pentru toți \(n\in\mathbb{N}\).

  1. Arătați că pentru \(\lambda>0\) următoarele afirmații sunt echivalente: i) \(X\) este o variabilă Poisson de parametru \(\lambda\) ii) Pentru toți \(n\geq1\) avem \(\frac{p_n}{p_{n-1}}=\frac{\lambda}{n}\)

  2. Dacă \(X\sim\mathrm{Pois}(\lambda)\) determinați i) Valoarea \(k\) pentru care \(\mathbb{P}(X=k)\) este maximă. ii) Valoarea lui \(\lambda\) care maximizează \(\mathbb{P}(X=k)\), pentru \(k\) fixat.

Exercițiul 20 (Numărul de aruncări până obținem de 2 ori H sau T) O monedă are probabilitatea să pice cap \(p\) și să pice coadă \(q\) astfel ca \(p+q=1\). Moneda este aruncată succesiv și independent până când evenimentul \(A\), am obținut două capete unul după altul sau două cozi una după alta, s-a realizat. Determinați repartiția variabilei aleatoare care ne dă numărul de aruncări necesare realizării evenimentului de interes, \(A\).

Exercițiul 21 Fie \(X\) o variabilă discretă astfel încât \(\mathbb{P}(X=k)=\frac{(1-p)^k}{-k\log(p)}\) dacă \(k\geq 1\) și \(\mathbb{P}(X=0)=0\), cu \(0<p<1\). Să se calculeze \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\) și \(Var[X]\).

Exercițiul 22 (Poisson condiționată) Fie \(X\) și \(Y\) două variabile aleatoare independente repartizate Poisson de parametrii \(\lambda\) și respectiv \(\mu\). Determinați legea (repartiția) condiționată a lui \(X\) la \(X+Y=n\).

Exercițiul 23 Bobby Fischer și Boris Spassky joacă un meci de șah în care primul jucător care câștigă o partidă câștigă și meciul. Regula spune că după 10 remize succesive meciul se declară egal. Știm că o partidă poate fi câștigată de Fischer cu probabilitatea de 0.4, câștigată de Spassky cu probabilitatea de 0.3 și este remiză cu probabilitatea de 0.3, independent de rezultatele din partidele anterioare.

  1. Care este probabilitatea ca Fischer să câștige meciul?

  2. Care este funcția de masă a duratei meciului (durata se măsoară în număr de partide jucate)?

Exercițiul 24 Un administrator de reprezentanță de mașini comandă uzinei Dacia \(N\) mașini, numărul aleator \(X\) de mașini pe care îl poate vinde reprezentanța sa într-un an fiind un număr întreg între \(0\) și \(n\geq N\), toate având aceeași probabilitate. Mașinile vândute de administrator îi aduc acestuia un beneficiu de \(a\) unități monetare pe mașină iar mașinile nevândute îi aduc o pierdere de \(b\) unități. Calculați valoarea medie a câștigului \(G\) reprezentanței de mașini și deduceți care este comanda optimă.

Exercițiul 25 (Aruncatul zarurilor) Se aruncă \(5\) zaruri. După prima aruncare, se reia și se aruncă zarurile care nu au dat șase, până când se obțin \(5\) valori de șase. Fie \(X\) numărul de aruncări necesare.

  1. Calculați \(\mathbb{P}(X \leq n)\), apoi \(\mathbb{P}(X=n)\) pentru orice \(n \in \mathbb{N}^*\).

  2. Câte aruncări sunt necesare în medie pentru a obține cele \(5\) șase?

Exercițiul 26 Calculați \(\mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X])\) știind că \(X\) este o variabilă aleatoare repartizată binomial cu \(\mathbb{E}[X]\notin \mathbb{N}\) și \(\mathbb{E}[X] = 2Var[X]\).

Exercițiul 27 (Media cifrei de afaceri) Numărul de clienți care intră în magazinul Unirea pe durata unei zile este o v.a. de medie \(50\). Suma cheltuită de fiecare dintre clienții magazinului poate fi modelată ca o v.a. de medie \(30\) RON. Presupunem că sumele cheltuite de clienți, ca v.a., sunt independente între ele și independente de numărul total de clienți care intră în magazin într-o zi dată. Care este media cifrei de afaceri a magazinului în ziua considerată ?

Exercițiul 28 (Egalitatea numărului de capete) Doi jucători aruncă o monedă perfect echilibrată, de câte \(n\) ori fiecare. Calculați probabilitatea ca ei să obțină același număr de capete.

Exercițiul 29 (Numărul de tranzistori defecți) Știm că într-un lot de \(5\) tranzistori avem \(2\) care sunt defecți. Tranzistorii sunt testați, unul câte unul, până când cei doi tranzistori au fost identificați. Fie \(N_1\) numărul de teste pentru identificarea primului tranzistor defect și \(N_2\) numărul de teste suplimentare pentru identificarea celui de-al doilea tranzistor defect. Scrieți un tablou în care să descrieți repartiția comună a cuplului \((N_1,N_2)\). Calculați \(\mathbb{E}[N_1]\) și \(\mathbb{E}[N_2]\).

Exercițiul 30 (Proces Bernoulli) Un proces Bernoulli de parametru \(p\) este un șir de variabile aleatoare independente \((X_n)_{n\geq1}\) cu \(X_n\in\{0,1\}\) și \(\mathbb{P}(X_n=1)=p\).

  1. Arătați că v.a. \(S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\) este repartizată \(\mathcal{B}(n,p)\) și calculați media și varianța acesteia.

  2. Fie \(L\) cel mai mare număr natural pentru care \(X_1=X_2=\cdots=X_L\) și \(M\) cel mai mare număr natural așa încât \(X_{L+1}=X_{L+2}=\cdots=X_{L+M}\). Găsiți distribuțiile v.a. \(L\) și \(M\).

  3. Arătați că \(\mathbb{E}[L]\geq\mathbb{E}[M]\), \(Var[L]\geq Var[M]\geq2\) și calculați \(Cov[L,M]\).

  4. Calculați \(\displaystyle\lim_{k\to\infty}\mathbb{P}(M=n\,|\,L=k)\).

Exercițiul 31 Considerăm următoarea problemă:

  1. O femeie însărcinată este programată, de doctor, să nască pe data de 22 Decembrie 2018. Binențeles că data efectivă de naștere nu este neapărat data prevăzută de doctor. Pe o scară de timp, considerăm că momentul în care începe ziua de 22 Decembrie este notat cu 0 și să presupunem că momentul \(T\), la care femeia naște, este repartizat normal de medie 0 și abatere standard 4 zile. Care este probabilitatea ca femeia să nască în ziua programată de doctor?

  2. O altă femeie însărcinată are aceeași dată de naștere programată ca și femeia de la punctul a). În contextul de la a), fie \(T_0\) momentul primei nașteri, din cele două. Presupunând că cele două momente ale nașterilor sunt independente și identic repartizate să se determine varianța lui \(T_0\).1

Exercițiul 32 Tabloul următor reprezintă repartiția cuplului \((X,Y)\): unde putem considera că \(X\) este numărul de copii dintr-o familie și \(Y\) este numărul de televizoare din acea familie (am considerat numai familii cu \(1-3\) copii și cu \(1-3\) televizoare).

\[ \begin{array}{l|lcr} X\backslash Y & 1 & 2& 3 \\ \hline 1 & 0.22 & 0.11 & 0.02\\ 2 & 0.2 & 0.15 & 0.1\\ 3 & 0.06 & 0.07 & 0.07 \end{array} \]

Determinați:

  1. Legile marginale ale lui \(X\) și respectiv \(Y\).

  2. Media și varianța lui \(X\) și respectiv \(Y\).

  3. Coeficientul de corelație dintre \(X\) și \(Y\).

  4. Legea condiționată a lui \(X\) la \(Y = 2\) și respectiv legea condiționată a lui \(Y\) la \(X=2\).

  5. Media și varianța acestor legi condiționate

Variabile aleatoare continue

Exercițiul 33 (Calcule elementare) Considerăm:

  1. Fie \(X\) o v.a. a cărei densitate este

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c\ln\left(\frac{7}{x}\right), & 0<x<7, \\0, &\mbox{altfel}\end{array}\right. \]

Să se determine constanta \(c\) astfel încât \(f\) să fie densitate de probabilitate. Determinați funcția de repartiție și calculați \(\mathbb{P}(X>3)\).

  1. Să se determine constanta \(c\) din intervalul \((0,1)\) astfel încât funcția

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x\in[1-c,1+c]\\0, &\mbox{altfel}\end{array}\right. \]

să fie densitate de probabilitate. Calculați funcția de repartiție \(F(x)\) și trasați graficul acesteia.

Exercițiul 34 Se consideră v.a. \(X\) cu densitatea de probabilitate

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha x^2e^{-kx}, & x\geq0\\0, & x<0\end{array}\right., k>0. \]

  1. Să se determine constanta \(\alpha\).

  2. Să se afle funcția de repartiție.

  3. Să se calculeze \(\mathbb{P}(0<X<k^{-1})\).

Exercițiul 35 (Caracterizarea repartiției Exponențiale) Arătați că:

  1. Fie \(X\) o variabilă repartizată exponențial de parametru \(\alpha\), \(X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)\). Arătați că are loc următoarea relație (proprietatea lipsei de memorie):

\[ \mathbb{P}(X>s+t|X>s) = \mathbb{P}(X>t) \]

  1. Fie \(X\) o variabilă aleatoare care verifică relația de mai sus. Arătați că \(X\) este repartizată exponențial.

Exercițiul 36 (Durata de viață a unui circuit electronic) Durata de viață, exprimată în ani, a unui circuit electronic este o variabilă aleatorie \(T\) a cărei funcție de repartiție \(F\) este definită prin:

\[ F(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & ,\text { dacă } t<0 \\ 1-\exp \left(-\frac{1}{2} t^2\right) &, \text { dacă } t \geq 0 \end{array}\right. \]

  1. Determinați densitatea de probabilitate \(f\) a lui \(T\). Calculați \(\mathbb{E}[T]\).
  2. Știind că circuitul a funcționat deja timp de un an, care este probabilitatea ca acesta să continue să funcționeze încă cel puțin doi ani? Repartiția nu are memorie?
  3. Un echipament electronic E este compus din 10 circuite identice și independente. Circuitului \(i,\,(1 \leq i \leq 10)\) îi este asociată variabila aleatoare:

\[ X_i=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { dacă durata de viață a circuitului } i \text { este mai mică de un an } \\ 0, & \text { altfel } \end{array}\right. \]

  1. Care este repartiția variabilei aleatoare \(N\) egală cu numărul de circuite E cu o durată de viață mai mică de 1 an?
  2. Echipamentul E este considerat în serie dacă defectarea unuia dintre circuitele sale duce la defectarea acestuia. Care este probabilitatea ca acesta să se defecteze înainte de 1 an?
  3. Echipamentul E este considerat paralel dacă defectarea sa poate avea loc numai în cazul în care toate circuitele sale sunt defecte. Care este probabilitatea ca acesta să se defecteze: înainte de 1 an? înainte de \(t\) ani?

Exercițiul 37 (Diferența cuartilelor) Se dă variabila aleatoare \(X\) care are densitatea de repartiție

\[ f(x) = \frac{x}{b}e^{-\frac{x^2}{2b^2}}\mathbf{1}_{\{x\geq 0\}}. \]

  1. Să se scrie o funcție în R care să traseze graficul lui \(f\).

  2. Să se calculeze raportul \(\frac{F^{-1}(0.75) - F^{-1}(0.25)}{\sqrt{Var(X)}}\), unde \(F\) este funcția de repartiție a lui \(X\).

Exercițiul 38 Fie cuplul de v.a. \((X,Y)\) cu densitatea de repartiție \(f_{(X,Y)}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), unde

\[ f_{(X,Y)}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}k(x+y+1), & x\in[0,1],\, y\in[0,2]\\0, & \mbox{altfel}\end{array}\right.. \]

  1. Să se determine constanta \(k\).

  2. Să se determine densitățile marginale.

  3. Să se verifice dacă \(X\) și \(Y\) sunt independente.

  4. Să se afle funcțiile de repartiție marginale și funcția de repartiție a vectorului \((X,Y)\).

  5. Să se determine densitățile v.a. \(X|Y=y\) și \(Y|X=x\).

Exercițiul 39 Se consideră cuplul de variabile aleatoare \((X,Y)\) a cărui repartiție este definită în triunghiul care are ca vârfuri originea, punctul \(A(0,1)\) și punctul \(B(1,1)\) prin densitatea de repartiție

\[ f_{(X,Y)}(x,y)=\frac{a}{\sqrt{xy}}. \]

  1. Să se determine \(a\in\mathbb{R}\).

  2. Să se determine densitatea marginală a lui \(X\) și a lui \(Y\) și să se calculeze \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[Y]\), \(\mathrm{Var}[X]\) și \(\mathrm{Var}[Y]\).

  3. Să se găsească densitățile condiționate ale variabilelor aleatoare \(X|Y=y\) și respectiv \(Y|X=x\).

  4. Să se calculeze \(\mathbb{E}[X|Y=y]\) și \(\mathbb{E}[Y|X=x]\).

  5. Să se determine coeficientul de corelație dintre \(X\) și \(Y\).

Exercițiul 40 Un tehnician dintr-un laborator de biologie face două măsurători considerate independente și repartizate normal de medie \(0\) și de varianță \(1\). Calculați corelația dintre valoarea cea mai mică și cea mai mare a celor două măsurători.

Inegalități și teoreme limită

Exercițiul 41 (Inegalități Aplicații) Fie \(X\) și \(Y\) două variabile aleatoare i.i.d. pozitive și \(c>0\). Pentru fiecare din punctele de mai jos completați cu unul din simbolurile \(=\), \(\leq\), \(\geq\) sau \(?\) (în caz că nu putem decide). Justificați alegerile făcute:

  1. \(\mathbb{E}[\log(X)]\quad\ldots\quad\log(\mathbb{E}[X])\)
  2. \(\mathbb{E}[\sqrt{X}]\quad\ldots\quad\sqrt{\mathbb{E}[X]}\)
  3. \(\mathbb{E}[\sin^2(X)] + \mathbb{E}[\cos^2(X)]\quad\ldots\quad 1\)
  4. \(\mathbb{P}(X>c)\quad\ldots\quad\frac{\mathbb{E}[X^3]}{c^3}\)
  5. \(\mathbb{P}(X \leq Y) \quad\ldots\quad \mathbb{P}(X \geq Y)\)
  6. \(\mathbb{P}(|X+Y|>2)\quad\ldots\quad\frac{\mathbb{E}[(X+Y)^4]}{10}\)
  7. \(\mathbb{E}[X^Y]\quad\ldots\quad\mathbb{E}[X]^{\mathbb{E}[Y]}\)
  8. \(\mathbb{P}(X+Y>10) \quad\ldots\quad \mathbb{P}(X>5 \text{ sau } Y > 5)\)
  9. \(\mathbb{E}[\min(X,Y)]\quad\ldots\quad\min{\mathbb{E}[X], \mathbb{E}[Y]}\)
  10. \(\mathbb{E}[\frac{X}{Y}]\quad\ldots\quad \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathbb{E}[Y]}\)
  11. \(\mathbb{E}[X^2(X^2+1)] \quad\ldots\quad \mathbb{E}[X^2(Y^2+1)]\)
  12. \(\mathbb{E}[\frac{1}{X}] \quad\ldots\quad \frac{1}{\mathbb{E}[X]}\)
  13. \(\frac{\mathbb{E}[X^3]}{\mathbb{E}[X^2]} \quad\ldots\quad \frac{\mathbb{E}[X^4]}{\mathbb{E}[X^3]}\)
  14. \(\mathbb{P}(|X-Y|>2)\quad\ldots\quad\frac{Var(X)}{2}\)

Exercițiul 42 Fie \(X\) o variabilă aleatoare care ia valori în intervalul \([a,b]\). Arătați că \(Var(X)\leq \frac{(b-a)^2}{4}\).

Exercițiul 43 (Problema perechilor) Considerăm:

  1. Fie \(X\) o variabilă aleatoare de medie \(0\) și varianță \(\sigma^2<\infty\). Arătați că pentru orice \(a>0\) are loc inegalitatea

\[ \mathbb{P}(X\geq a) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2} \]

  1. Un grup de \(200\) de persoane, din care jumătate sunt bărbați, este divizat într-o \(100\) de perechi de câte \(2\) persoane. Dați o margine superioară pentru probabilitatea ca cel mult \(30\) dintre acestea să fie perechi mixte.

Exercițiul 44 (Maximul de uniforme) Fie \(X_1, X_2, \ldots\) un șir de variabile aleatoare independente și repartizate uniform pe intervalul \([0,\theta]\), cu \(\theta > 0\). Să se arate că șirul de variabile aleatoare \(Y_n=\max_{1\leq k\leq n}X_k\) converge în probabilitate la \(\theta\).

Exercițiul 45 (Integrare Monte Carlo (1)) Propuneți două metode alternative de aproximare Monte-Carlo pentru integralele următoare:

  1. \(I_1=\int_0^1 \cos \left(x^3\right) \exp (-x) d x\)
  2. \(I_2=\int_0^{+\infty} \sin \left(x^4\right) \exp (-2 x) \exp \left(-\frac{x^2}{2}\right) d x\)
  3. \(I_3=\int_0^1 \ln \left(1+x^2\right) \exp \left(-x^2\right) d x\)

Comparați rezultatele cu cele obținute prin aproximare numerică folosind funcția integrate().

Exercițiul 46 (Integrare Monte Carlo (2)) Ne propunem să calculăm integrala \(I=\int_0^1 \sin (\sqrt{x}) d x\) folosind metoda Monte-Carlo.

  1. Propuneți o metodă de aproximare Monte-Carlo a integralei \(I\) și comparați rezultatul cu cel obținut prin metode numerice (folosind funcția integrate()).

  2. Determinați volumul eșantionului \(n\) pentru care metoda descrisă are o probabilitate \(\geq 0.99\) să aproximeze \(I\) cu o eroare de \(0.01\).

Exercițiul 47 (Aplicație TLC 1) Să presupunem că dispunem de \(100\) de becuri a căror durată de viață sunt variabile aleatoare independente și indentic repartizate de lege exponențială de medie \(5\) ore. Dacă becurile sunt aprinse pe rând și o dată ce un bec se arde este înlocuit instantaneu de un altul nou, care este probabilitatea să mai avem un bec intact după \(525\) de ore ?

Exercițiul 48 (Aplicație TLC 2) O parcare supraterană este construită pentru un nou imobil care are \(200\) de apartamente. Să presupunem că numărul de mașini pe apartament este \(0\), \(1\) și respectiv \(2\) cu probabilitățile \(0.1\), \(0.6\) și respectiv \(0.3\). Care este numărul minim de locuri de parcare pe care inginerul constructor trebuie să le prevadă pentru a fi sigur în proporție de \(95\%\) că sunt locuri suficiente pentru toate mașinile din imobil ?

Exercițiul 49 (Aplicație TLC 3) Fie \(X_1, \ldots ,X_n\) un eșantion de talie \(n\) cu funcția de repartiție \(F(x)\) și densitatea \(f(x)\) și (\(Y_1, \ldots ,Y_n\)) versiunea ordonată crescător a acestuia. Notăm cu \(H_{k}(x)\) și \(h_{k}(x)\) funcția de repartiție și densitatea v.a. \(Y_{k}\). Fie \(Y_1 = \inf X_i\) și \(Y_n = \sup X_i\).

  1. Care este funcția de repartiție și densitatea lui \(Y_1\) și \(Y_n\) ?

  2. Care este probabilitatea ca o observație dintr-o v.a. de lege \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) să depășească \(\mu+3\sigma\) ?

  3. Dar într-un eșantion de volum \(100\) cât este această probabilitate (i.e. probabilitatea ca o observație să depășească \(\mu+3\sigma\))?

  4. Dintr-un eșantion de volum \(100\) dintr-o populație repartizată \(\mathcal{N}(0, 1)\) ce valoare nu poate fi depășită cu o probabilitate de \(99\%\) ?

  5. O societate de analiză a calității apei și a mediului efectuează un sondaj în laboratoarele sale (\(50\) la număr, repartizate pe tot teritoriul României) pentru a testa dacă efectuează măsurători corecte. Pentru aceasta, serviciul de calitate trimite la fiecare laborator un eșantion de apă care conține o anumită concentrație de crom și le cere să determine această concentrație de crom. Ținând cont de fluctuațiile care apar în prepararea soluției, precum și de imprecizia aparatelor de măsură, societatea presupune că repartiția concentrației de crom (mg/l) este \(\mathcal{N}(10, 1)\).

Printre rezultatele obținute de la laboratoare, două dintre acestea au înregistrat măsurători mai diferite decât celelalte: laboratorul \(L_1\) a înregistrat o concentrație de \(6\) mg/l (cea mai mică valoare înregistrată) iar laboratorul \(L_2\) a măsurat o concentrație de \(13\) mg/l (cea mai mare dintre măsurători).

Puteți spune, cu o probabilitate de \(99\%\), că aceste valori sunt coerente sau că valorile obținute sunt aberante (datorită erorilor de măsurare, de calibrare a aparatelor, etc.) ?

Exercițiul 50 (Aplicații TLC 4) Considerăm problemele:

  1. Nivelul de zgomot al unei mașini de spălat este o v.a. de medie \(44\) dB și de abatere standard \(5\) dB. Admițând aproximarea normală care este probabilitatea să găsim o medie a zgomotului superioară la \(48\) dB într-un eșantion de volum \(10\) mașini de spălat?

  2. O telecabină are o capacitate de \(100\) de persoane. știind că greutatea populației (țării) este o v.a. de medie \(66.3\) Kg și o abatere standard de \(15.6\) Kg și presupunând că persoanele care au urcat în telecabină au fost alese în mod aleator din populație, care este probabilitatea ca greutatea totală acestora să depășească \(7000\) Kg?

Exercițiul 51 (Aruncatul monedei) De câte ori trebuie aruncată o monedă pentru ca să putem spune cu o probabilitate de \(0.6\) că abaterea frecvenței de apariție a stemei de la probabilitatea \(p=0.5\) este mai mică decât \(0.01\) ?

Note de subsol

  1. Indicație: Folosiți proprietatea de simetrie a repartiției normale și schimbarea de variabilă în coordonate polare!↩︎